Në datat 11–15 shtator 2017 prof. asoc. Monica Motta e Universitetit të Padovës zhvilloi në Departamentin e Matematikës një kurs kushtuar teorisë matematike të kontrollit.


Në javën 11–15 shtator 2017  prof. asoc. Monica Motta e Universitetit të Padovës zhvilloi në Departamentin e Matematikës një kurs kushtuar teorisë matematike të kontrollit. Programi i kursit skicohet shkurtimisht më poshtë.  Meqënese nuk presupozoheshin njohuri paraprake në teorinë e kontrollit prej audiencës, përpos studentëve të doktoraturës dhe kolegëve të departamentit u ftuan të frekuentonin leksionet edhe studentët e Ciklit II dhe vitit të tretë të Ciklit I.

 

Emërtimi i kursit:  Hyrje në Teorinë Matematike të Kontrollit.

 

Programi:

Leks. 1. Sisteme kontrolli, motivim me shembuj i interesit në studimin e tyre. Probleme optimizimi. Multifunksionet (funksione me vlera te shumëfishta ose funksione që i kanë vlerat nënbashkësi të një bashkësie të dhënë) si dhe veti të tyre. Elementë të analizës së multifunksioneve (Set-valued  Analysis).

Leks. 2. Veti të bashkësisë së trajektoreve. Teorema e Filippov-it, pasqyrimi input-output, derivueshmëria në lidhje me të dhënat fillestare, vlerësime a priori.

Leks. 3. Dendësia dhe bashkësitë e arritshme. Kontrolle të tipit “chattering” dhe mbyllja.

Leks. 4. Ekzistenca e kontrolleve optimale. Hyrje në Parimin e Maksimumit të Pontryagin-it (PMP). Nja dy shembuj për të treguar si zbatohet ky parim.

Leks. 5. Vërtetim i PMP për problemin e Mayer-it me pikë përfundimtare të lirë. Skicim i ideve që përdoren në prani të kushteve (constraints).

8031 countersigned_VloreAlbania University_AccordoBilaterale_De Cristoforis

Guidelines for Partner Universities_27.07.2016

Motta

Mbi mënyrën e zhvillimit të kursit. Prof. Motta përdori në mënyrë të alternuar tabletë (lidhur me projektor) dhe dërrasën e zezë.  Në fund të çdo leksioni dispozitivat dhe  shënimet u përcilleshin studentëve në format pdf me email. Gjithashtu, këto dukumente u botuan për një kohë të shkurtër edhe në faqen e internetit personale të saj.

 

Përcjellja e materialeve u shoqërua edhe me komente prej nënshkruesit të këtij relacioni me qëllim lehtësimin e nxënies së materialit dhe mbajtjes gjallë të interesit të pjesëmarrësve për lëndën. Duke menduar se është gjë e dobishme po risjell këtu përmbajtjen e këtyre komenteve në trajtën e tyre fillestare (me përjashtim të korrigjimit të gabimeve drejtshkrimore që u pikasën dhe ndonjë informalizmi).

 

 

Leks 1. Dt. 11.09.2017

 

Ju kaloj shënimet e leksionit të sotëm. Shpresoj që leksioni i sotëm të mos ju ketë tingëlluar shumë abstrakt. Po bëj nje koment te vogel. Sot patë nja dy zhvillime të rëndësishme të analizës moderne:

  1. Set-valued Analysis (analiza e multifunksioneve),
  2. Përfshirjet diferenciale (lidhjen e tyre me sistemet e kontrollit).

Kuptohet, vetëm sipërfaqja e këtyre argumenteve u prek; për to janë shkruar libra. P.sh., përmend “Set-valued Analyis° te Aubin & Frankowska dhe nje libër të Aubin dhe Cellina të titulluar “Differential Inclusions: Set-Valued Maps and Viability Theory”.

 

Ushtrim i këndshëm ishte ai i rendit leksikografik në R^n, vërtetimi i faktit që çdo bashkësi kompakte ka element minimal në lidhje me këtë rend. Meqë ra fjala, rendi leksigrafik në R^n është total, në kuptimin që kënaq edhe vetinë e dikotomisë, në një farë mase edhe “i plotë” (të paktën bashkësitë kompakte kanë elemente minimal. E megjithatë nuk është shumë “i famshëm”. Cila mendoni se është arsyeja?

 

Sa i përket teorisë së kontrollit, ndoshta rezultati më i thellë që patë sot ishte teorema e Filipov-it: barazia e bashkësive të trajektoreve të sistemit të kontrollit dhe përfshirjes diferenciale të shoqëruar me të.

 

Multifunksionet janë funksionet me vlera “të shumëfishta”, pra funksione vlerat e të cilave janë bashkësi (zakonisht nënbashkësi të një bashkësie të dhënë).

Për një burbakizëm të çuditshëm, këto objekte mjaft interesante ishin dëbuar nga matematika për një kohe jo të shkurtër. Por duke filluar nga vitet 60 a 70 te shek. të shkuar këto objekte po fillojnë të rimarrin vendi e tyre të merituar në matematikë. Pra ai miti që “funksion quhet relacioni që çdo elementi nga bashkësia e fillimit i shoqëron një dhe vetëm  një (disa thonë “të shumtën një”) element nga bashkësia e mbarimit është thjesht i tillë, pra mit.

Kur të jepet një multifunksion natyrshëm shtron pyetjen nëse mund të gjesh funksione në kuptimin tradicional të fjalës të tilla që për çdo vlerë të ndryshores së pavarur shëmbëllimi i funksionit të jetë element i shëmbëllimit të multifunksionit: funksione të tilla quhen përzgjedhje të multifunksionit të dhënë: natyrisht aksioma e zgjedhjes (përk. i imi ky i agl. “axiom of choice”) garanton ekzistencën e këtyre përzgjedhjeve por çështja e vërtetë është kjo: a ekzistojnë përzgjedhje me ndonjëfarë veti rregullisie (psh. të matshme, të vazhdueshme, gjysmë-vazhdueshme etj). Sot ju patë një teoreme mbi ekzistencën e përzgjedhjes së matshme (angl. measureable selection theorem). Nëse multifunksioni i një ndryshoreje numerike në një interval të drejtëzës reale ka vlera kompakte joboshe dhe është me graf të mbyllur, atëherë ekziston përzgjedhje e matshme e tij. Koncepti i rendit leksikografik dhe një teoreme e Lusin-it nga teoria e masës u përdoren në vërtetimin e tij. Nga ana tjetër kjo teoremë u përdor në vërtetimin e teoremës së Filippov-it.

 

Përmend për studentët kryesisht, që rezultate të tjera të analizës që u panë sot ishin: 1. Teorema e pikës fikse për tkurrjet (angl. contraction mappings), 2. Teorema e Lebesgue-ut e konvergjencës së dominuar  nga teoria e masës dhe integrimit. Këto u përdorën për të treguar që pasqyrimi input-output :”kontroll u(t) —–> trajektore x(t)” është i vazhdueshëm.

 

Sa i përket literaturës në kontrollin matematik, ajo është me bollëk të madh.

Përveç Bressan & Piçoli që u tha presorja sot, do të permendja

Markus dhe Lë, Berkovitz & Medhin, Knowles, Fleming dhe Rishel, Bonnard dhe Chyba, Coron, Jurdjevic, Agrachev dhe Sachkov (kontroll gjeometrik këto dy të fundit), Zabczyk, Sontag, etj,etj.

 

 

Leks. 2. Dt. 12.09.2017

 

Ju kaloj shënimet e leksionit të sotëm.

Leksioni i sotëm ishte disi teknik. Me të përgatitet rruga për të trajtuar në vijim çështjen e ekzistencës së kontrolleve optimale dhe përcaktimit të kushteve të nevojshme (parimi i maksimumit i Pontryagin-it) që kënaqen prej tyre.

 

Leksioni i sotëm iu kushtua rregullsisë së pasqyrimit input-output, pra

kontroll —> trajektore. Patë që në kushte të arsyeshme ky pasqyrim është i vazhdueshëm nga L^1 në C^0. Përgjithësisht, nuk është Lipschitz. Por nëse hapësira e kontrolleve pajiset me një largesë të caktuar, atëherë pasqyrimi në fjalë është Lipschitz. Vet çeshtja e ekzistencës globale të trajektoreve (pra ekzistencës së tyre në një interval kohor [0, T] të fiksuar) është e garantuar vetëm lokalisht.

 

 

Në vërtetimin e këtyre fakteve u përdor teorema e pikës fikse për pasqyrimet tkurrëse. Prof. Motta u dha edhe vërtetimin e këtij rezultati, në fakt të një trajte parametrike të tij që është i natyrshëm në çështjen e varësisë së vazhdueshme të trajektoreve  prej të dhënave. Kjo teoremë e pikës fikse është ndoshta teorema e pikës fikse më e rëndësishme e tërë analizës, ajo jo vetëm garanton ekzistencën dhe unicitetin e pikës fikse por jep edhe një skemë rekurrente për njehsimin e saj.

Zakonisht pritet që kjo teoreme të jetë parë prej jush në një kurs analize 2. Por mesa di unë, këtu në Vlorë, kurset e Analizës Reale 1 dhe 2 jepen mësim me librin e Parzynksi dhe Zipse që këtë rezultat nuk e trajton fare. Ky nuk është libër i keq, por disi i çuditshëm. Psh. gjen në të lemën e kategorisë së Baire-it, por jo koncepte mjaft me elementare dhe bazike si ai hapësirës së normuar ose teoremën e pikës fikse për tkurrjet.

 

Gjatë leksionit u përdor edhe ky fakt topologjik i vogël. Një varg është konvergjent nëse dhe vetëm nëse prej çdo nënvargu të tij mund të nxirret një nënvargu konvergjent. Lihet si ushtrim i vockël për ju të tregoni se ka vend ky fakt. Në lidhje me këtë pikë dëshiroj t’ju tregoj një kuriozitet. Ndoshta keni degjuar shprehjen “konvergjenca është nocion topologjik”. E pra, jo të gjitha konvergjencat që përdoren në analize janë “topologjike”. E tillë është konvergjenca pothuajse kudo: kjo konvergjencë nuk e kënaq vetinë e mësipërme siç tregon vargu i “makinës së shkrimit”   (prej çdo nënvargu të këtij vargu nxirret nënvargu konvergjent pothuajse kudo e megjithatë vet vargu nuk konvergjon pothuajse kudo).

 

Siç u thashë leksioni i sotëm ishte disi teknik: gjërat vërtet interesante si veti të trajektoreve dhe bashkësive të arritshme, ekzistenca e kontrolleve optimale, parimi i maksimumit i Pontryagin-it do të trajtohen në ditët në vijim, ndaj ju ftoj të vazhdoni të ndiqni leksionet.

 

Leks. 3. Dt. 13.09.2017

 

Ju kaloj slidet e leksionit të sotëm. Shënimet e leksionit të djeshëm dhe këtij të sotmit do t’ju kalohen pakëz më vonë.

 

Si zakonisht, po përpiqem të bëj një përmbledhje të vogël duke shpresuar se ndihmon.

Rezultati më i thellë që patë sot ishte një tjetër teoreme e Filippov-it mbi mbylljen e trajektoreve në topologjinë e konvergjencës uniforme. Pyetja që shtrohet është kjo:

Jepet një varg uniformisht konvergjent trajektoresh të një sistemi kontrolli ose përfshirjeje diferenciale: a është edhe limiti trajektore e sistemit te kontrollit ose përfshirjes diferenciale? Pra pyesim nëse bashkësia e trajektoreve është e mbyllur në lidhje me topologjinë e konvergjencës uniforme.

Përgjigjja në përgjithësi është jo. Kujtoni shembullin e thjeshtë që patë sot në leksion ku merrej nje varg kontrollesh që luhateshin midis -1 dhe 1 në mënyrë gjithnjë e më të çmendur. Vargu i trajektoreve përkatëse konvergjonte  uniformisht në 0 e megjithatë 0 nuk ishte trajektore e sistemit të kontrollit sepse kjo do te implikonte që kontrolli të merrte vlere zero (e pamundur kjo sepse në atë shembull merrej si bashkësi e parametrave të kontrollit bashkësia e përbërë vetëm prej dy elementeve -1 dhe 1).

Teorema e Filippovit jep kushte të mjaftueshme që bashkësia e trajektoreve të sistemit të kontrollit ose përfshirjes diferenciale të jetë e mbyllur. Kusht themelor për këtë qëllim është konveksiteti i  bashkësive të shpejtësive. (Kuptohet, ky s’është kushti i vetëm, por le të themi ai më delikati; perveç se të qenit me vlera konvekse, kërkohet gjithashtu që ana e djathtë e përfshirjes diferenciale (ose multifunksioni i bashkësisë së shpejtësive, në rastin e sistemeve te kontrollit) të jetë me vlera kompakte joboshe dhe i vazhdueshëm sipas Hausdorff-it).

Kujdes, bashkësia e shpejtësive duhet të jetë konvekse, jo bashksia e parametrave të kontrollit U. Kuptohet, ka raste, sic është ai i sistemeve të kontrollit afine në parametrat e kontrollit, kur kjo është e njëjta gjë.

Vërtetimi nuk që i vështirë dhe kryhej duke përdorur, ndër të tjera, një teoreme mbi veçimin e bashkësive konvekse të mbyllura me anë të një hiperplani (në hapësirën euklidiane, që është edhe rasti që na intereson, ky pohim është rrjedhim i kompaktësisë, ndërsa në hapësira të normuara çfarëdo është rrjedhim i një rezultati disi më të sofistikuar të quajtur teorema Hahn-Banach) si edhe duke arsyetuar me kundërthënie.

 

Kjo hipoteza e “bashkësisë së shpejtësive konvekse” është pak si tepër kërkuese dhe ne përgjithësi me vështirësi kënaqet në praktike (hiq rastin e rëndësishëm të sistemeve të kontrollit afine në parametrat e kontrollit). Shpesh përdoret teknika e “konveksifikimit”–që ndoshta do të përmendet nesër–dhe mbyllja e trajektoreve të një sistemi kontrolli karakterizohet si bashkësia e trajektoreve të sistemit të konveksifikuar.

 

Një tjetër klasë mjaft e rëndësishme sistemesh kontrolli për të cilën bashkësia e trajektoreve rezulton e mbyllur në topologjinë uniforme (pa patur nevojë të konveksifikosh) është bashkësia e sistemve të kontrollit lineare (më saktë, afine) në ndryshoret e gjendjes çdot x = A(t) x + h(t, u).

Për këto sisteme vlen edhe një tjetër teoreme e famshme e quajtur teorema bang-bang si rrjedhim i së cilës, trajektoret e këtij sistemi përputhen me ato të të konveksifikuarit të tij. Rrjedhimisht, këto sisteme kanë bashkësi trajektoresh të mbyllura në topologjinë uniforme.

 

Teoremat mbi mbylljen e trajektoreve kanë si rrjedhim pohime mbi mbylljen e bashkësive të arritshme. Bashkësia e arritshme, përkufizimi i së cilës u dha sot është objekt i natyrshëm në kontroll, kuptimi gjeometrik dhe fizik i saj është shumë i qartë; shumë prej problematikave të teorisë së kontrollit shprehen në gjuhën e bashkësive të arritshme. Nesër do të shihni disa rezultate mbi ekzistencën e kontrolleve optimale që përftohen me anë të së ashtuquaturës metodë të drejtpërdrejtë të njehsimit të varacioneve (Tonelli ishte i pari që dha një rezultat të këtij tipi në Njehsimin e Variacioneve nga fillimi i shek. XX).

Këto rezultate perdorin fuqishëm faktin që bashkësitë e arritshme, ose bashkësia e trajektoreve janë të mbyllura (ndaj edhe një hipoteze konveksiteti është e pashmangshme).

 

Për kuriozitetin tuaj, shtoj se bashkësitë e arritshme luajnë rol të rëndesishëm edhe në formulimin e kushteve te nevojshme për optimalitet (thënë ndryshe, për interpretimin gjeometrik të parimit të maksimumit te Pontryagin-it që duhet ta shihni në leksionin e fundit): nëse një trajektore është optimale për kohën (time-optimal) në kuptimin që në çdo pike të saj është trajektorja e sistemit që e arrin atë pike në kohën më të shkurtër, atëherë në çdo çast kjo trajektore ndodhet në kufirin e bashkësisë së arritshme.

 

 

Leks. 4. Dt. 14.09.2017

 

Ju kaloj leksionin e sotëm: file-i i fundit bashkëlidhur (gjithnjë duke u kërkuar ndjesë të painteresuarve). Siç tha presorja, leksionet i gjeni edhe në faqen e saj http://www.math.unipd.it/~motta/ .

 

Po u jap një problem optimizimi që mund ta zgjidhni thjesht me mend:

Një makinë duhet lëvizur në rruge të drejtë nga një pikë A në një pikë B. Ajo që mund të kontrollohet (duke i dhënë gaz ose duke shkelur frenat) është nxitimi a i cili sidoqoftë nuk mund të shkojë në vlerë absolute përtej një madhësie të caktuar a_{max}>0. Eshte e nenkuptuar por po e theksoj qe ne pikën fillestare A dhe pikën përfundimtare B makina duhet të jetë në prehje (me shpejtësi zero). Pyetje: si duhet ngarë makina në mënyrë të tillë që të shkohet nga pika A në pikën B në kohën më të shkurtër të mundshme?

 

(Mqrf, a ka zgjidhje optimale problemi, a mund të përdoret ndonjëra prej teoremave të ekzistencës që patë dje për të konkluduar që problemi ka zgjidhje optimale?)

 

 

Sot u fol për parimin e maksimumit të Pontryagin-it.

Këto janë kushte të nevojshme të rendit të parë që duhet të kënaqin një çift kontroll-trajektore optimal. Ekuacioneve të sistemit u shtohen i ashtuquajturi ekuacion i shtuar (angl. adjoint) ose dual me një kusht përfundimtar dhe kontrolli optimal është i tillë që në çdo çast maksimizon ndër të të gjithe parametrat e kontrollit një madhësie të caktuar H–zakonisht të quajtur hamiltoniane–qe varet prej kohes, t, gjendjes x, gjendjes komplemetare p, dhe parametrave te kontrollit u. Pra nese shenojme me H=H(t, x,p, u) kete hamiltonianen, dhe me x*(t), p*(t), u*(t) treshen trajektore–trajektore duale-kontroll optimal, atehere kemi

H(t, x*(t), p*(t), u*(t)) = max{ H(t, x*(t), p*(t), w) : w \in U  } në çdo cast t.

Kjo hamiltoniana H varet prej problemit: p.sh. për problemin e Mayer-it që patë në leksion ku duhej maksimizuar një kosto që varej vetëm prej gjëndjes përfundimtare psi(x(T)), jepej prej prej prodhimit skalar të ndryshores p me dinamikën: H(t,x,p,u)= p \cdot f(t,x, u).

 

Ju patë vetëm rastin e thjeshtë të kohës përfundimtare T të dhënë (parapërcaktuar) dhe gjëndjes përfundimtare x(T) te lire.  Por PMP përshtatet edhe për të trajtuar probleme gjendje të kushtëzuar dhe/ose kohe përfundimtare të lirë.

 

PMP është kusht vetëm i nevojshëm (rendit të parë) por jo i mjaftueshem. Pate nje shembull qe e ilustronte kete (nje cift kontroll-trajektore qe kenaqte PMP e megjithate nuk ishte optimal).

 

Kombinuar me rezultatet e ekzistences qe pate dje PMP mund te mjaftoje per te konkluduar optimalitet: nese PMP percakton vetem nje kandidat optimal dhe dihet se problemi ne fjale ka zgjidhje optimale (psh sepse kenaqen kushtet e ndonjeres prej teoremave te ekzistences qe pate dje) atehere kandidati ne fjale “i fiton zgjedhjet” (ndryshe nga une), pra eshte vertet optimal.

 

Siç edhe u tha në leksion ka edhe një qasje tjetër ndaj problemit të kontrollit optimal: që është metoda e programimit dinamik të Bellman-it. Nuk po zgjatem me këtë, por natyrisht këto leksione përbëjnë vetëm një hyrje në teorinë e kontrollit optimal.

 

Literatura në teorinë e kontrollit është vërtet shumë e gjerë.

Ju nis dispensen e L.C. Evans-it, një qasje më gjeometrike ka Agrachev-i.

Po ju nis edhe librin e Brassan dhe Piçoli (megjithëse kjo është kundër të drejtave të autorit). Tani teoria e kontrollit  është kapitull shumë i gjerë i matematikës moderne, jo vetëm ka zbatime thuajse kudo (kontrollo, stabilizo, optimizo; këto janë ndër qëllimet e jetës) por matematika që përdor është shumë e bukur dhe jobanale: që nga ekuacionet diferenciale të zakonshme ose me derivate të pjesshme, analiza reale ose komplekse algjebra lineare, gjeometrica diferenciale). Mirëpres dhe ftoj të më kontaktojë këdo që ka dëshirë të mësojë më shumë për teorinë e kontrollit dhe matematikën që përmbledh. Besomëni, ia vlen.

 

 

 

Duke ju falenderuar për bashkëpunimin.

 

 

Prof. asoc. Ermal Feleqi

Koordinator i Marrëveshjes Erasmus+

midis UV dhe Universitetit  të Padovës